WWW.LI.I-DOCX.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные ресурсы
 

«УДК 681.3.06 Бессалов А.В. Построение кривой Эдвардса на базе изоморфной эллиптической кривой в канонической форме Получены условия существования канонических кривых, изоморфных кривым в ...»

УДК 681.3.06

Бессалов А.В.

Построение кривой Эдвардса на базе изоморфной эллиптической кривой в канонической форме

Получены условия существования канонических кривых, изоморфных кривым в форме Эдвардса над простым полем. Найдена зависимость параметра d кривой Эдвардса от параметров канонической кривой. Приведено новое доказательство для точных формул расчета числа кривых Эдвардса, изоморфных каноническим кривым с ненулевыми параметрами а и b.

Ключевые слова: каноническая эллиптическая кривая, кривая Эдвардса, кривая кручения, параметры кривой, изоморфизм, квадратичный вычет, квадратичный невычет.

Отримано умови існування канонічних кривих, які ізоморфні кривим у формі Едвардса над простим полем. Знайдено зв’язок параметру d кривої Едвардса з параметрами канонічної кривої. Приведено новий доказ для точних формул розрахунку кількості кривих Едвардса, які є ізоморфними канонічним кривим с ненульовими параметрами а і b.

Ключові слова: канонічна еліптична крива, крива Едвардса, крива кручення, параметри кривої, ізоморфізм, квадратичний лишок, квадратичний нелишок.

Перспективным классом эллиптических кривых сегодня являются кривые в форме Эдвардса [1-6], рекордные по быстродействию и удобные для программирования. Двойная симметрия их в координатах поля характеристики р > 2 порождает четырехкратную избыточностью по числу точек NE. Так как NE 0(mod4), циклические кривые Эдвардса всегда содержат одну точку 2-го порядка и 2 точки 4-го порядка.

Кривых в канонической форме с таким свойством сравнительно немного, поэтому для построения изоморфных им кривых Эдвардса следует решить задачу поиска кривых в форме Вейерштрасса с двумя точками 4-го порядка. В работе [6] мы ввели зависимый от традиционных параметров (a, b) канонической кривой параметр с как единственный в поле Fp корень кубического уравнения. В ней получены системы линейных уравнений для неизвестных параметров а и с2 с решениями, выраженными через квадратичные вычеты и невычеты. Для нахождения точного числа канонических кривых с ненулевыми параметрами, изоморфных форме Эдвардса, потребовалось сформулировать и доказать 2 леммы о числе решений уравнений, связывающих суммы вычетов и невычетов. Доказательства опираются на схему Гаусса распределения квадратичных вычетов. В итоге удалось найти формулы расчета точного числа кривых с заданными свойствами для любых р 3mod4 и р 1mod4.

В настоящей работе, опираясь на свойства кривых в канонической форме, автор нашел функциональную связь между параметром d кривой Эдвардса и параметрами изоморфной канонической кривой. Далее приводится новое более лаконичное доказательство утверждения, определяющего формулы расчета точного числа кривых Эдвардса, изоморфных кривым в форме Вейерштрасса с ненулевыми параметрами а и b. Кроме того, приведен алгоритм поиска изоморфных форме Эдвардса кривых, полезных для криптографии.

Определение функциональной зависимости между параметрами кривой в форме Эдвардса и канонической кривой

Каноническая кривая над полем характеристики р 2, 3 описывается известным уравнением [7]

Ер : y2 = x3 + ax + b, 4a3 + 27b2 0, a,b Fp. (1)

Пусть с – единственный в поле Fp корень кубического уравнения x3 + ax + b = 0, тогда вместо (1) можем записать

y2 = (x – c)(x2 + cx + a + c2), b = – c3 – ac, c Fp. (2)

Определим условия, накладываемые на параметры а и с, при которых имеется единственная точка 2-го порядка и 2 точки 4-го порядка. Второй задачей в этом разделе будет нахождение зависимости между параметрами а и с канонической формы эллиптической кривой и параметром d кривой x2+ y2= 1+ d x2y2 в форме Эдвардса.





Примем u = x – c, тогда уравнение (3) представляется в форме Монтгомери [2,3]

y2 = u(u2 + 3cu + a + 3c2). (3)

Парабола в правой части (4) не имеет корней в поле Fp, если дискриминант квадратного уравнения является квадратичным невычетом, т.е.

9с2 – 4(а +3с2) = – (3с2 + 4а) А2. (4)

Это условие гарантирует существование единственной точки 2-го порядка кривой (3), определяемой для (3) как D = (0,0). Условие А2 0, входящее в (4), исключает появление кратных корней кубического уравнения и, тем самым, сингулярные кривые [7].

Пусть P = (u1, y1) – точка 4-го порядка кривой (3). Ее удвоение 2P = D дает координаты точки D = (0, 0). При удвоении мы строим касательную к кривой в точке Р, которая проходит через точку (0,0). Таким образом из (3)

Отсюда

2y12 = 3u13 + 6cu12 + (3c2 + a)u1. (5)

С другой стороны, в этой же точке согласно (3) имеем

2y12 = 2u13 + 6cu12 + 2(3c2 + a)u1. (6)

Из системы уравнений (5), (6) получим квадраты для координат точки P 4-го порядка

u12 = 3c2 + a, y12 = 2u13 + 3cu12 (7)

Из последнего выражения можно теперь получить

(8)

где

. (9)

Формулы (7), (9) позволяют выразить параметр d через параметры a и c канонической формы кривой

(10)

Здесь с помощью двоичного выбирается одно из решений квадратного уравнения u1, которое принадлежит кривой (3) и дает ровно 2 точки 4-го порядка. Второе решение не может лежать на кривой: это порождает 4 точки 4-го порядка, что нарушает структуру группы [7].

Из (4) и (7) следует, что необходимыми условиями существования одной точки 2-го и двух точек 4-го порядков являются следующие соотношения, выраженные через символы Лежандра как

(11)

С учетом (7) и (8) и деления на u13 уравнение (3) теперь может быть приведено к виду

(12)

Эта форма кривой с помощью сравнительно несложной замены переменных (u.v) (x,y) [2,3] приводится к кривой в форме Эдвардса

x2 + y2 = 1 + d x2 y2, d 0, 1, (13)

Класс изоморфных кривых Эдвардса X2 + Y2 = e2(1 + d*X2Y2), d*= e-4d, (14)

определяется линейной заменой переменных х е–1X, у е–1Y. Такая трансформация расширяет множество всех кривых в (р – 1)/2 раз, но практически бесполезна (более того, добавление нового параметра е усложняет групповые операции).

Как нетрудно видеть из (12), заменой d d -1 получаем кривую кручения с порядком NEt = p + 1 + t, симметричным порядку NE = p + 1 – t исходной кривой относительно середины p + 1. Заметим, что для кривых Эдвардса порядок кривой NE = 0mod4, поэтому след уравнения Фробениуса t может быть равен 0 лишь для значений модуля р = 3 mod4. В этом случае элемент поля (– 1) является квадратичным невычетом, и при значении d = d -1 = – 1 пара кривых кручения вырождается в одну суперсингулярную кривую с порядком NE = p + 1. Это следует также из уравнения (12), которое при d = – 1 принимает вид y2 = u3 + u [7]. В форме (1) это кривая с коэффициентом b = 0.

В криптографических приложениях не используются уязвимые к MOV-атаке кривые с нулевыми параметрами а или b. Возникает вопрос о числе кривых Эдвардса, изоморфных каноническим кривым с ненулевыми коэффициентами а и b. Эта задача получила точное решение в работе [6] на основе свойств параметров а и с канонических кривых, при этом нам пришлось сформулировать и доказать 2 леммы в теории квадратичных вычетов и теорему. В следующем разделе мы более лаконично докажем полученные в [6] результаты, опираясь в основном на свойства кривой в форме Эдвардса.

Новое доказательство для расчета точного числа кривых Эдвардса, изоморфных кривым в канонической форме с ненулевыми параметрами а и b

Утверждение. Число кривых Эдвардса (14), изоморфных кривым (1) в канонической форме с параметрами a 0 и b 0 над полем Fp с двумя точками 4-го порядка определяется формулами:

І. При р 3mod4

() М = (р – 1)(р – 7)/4, если 3p=1;

() М = (р – 1) )(р – 3)/4 если 3p=-1;

ІI. При р 1mod4

() М = (р – 1)2/4.

Доказательство.

Пусть р 3mod4, тогда (– 1) – квадратичный невычет [7], т.е. -1p=-1, и для (11а) невычет заменяем квадратичным вычетом

Аргументы символов Лежандра (11) являются линейными функциями параметров а и с2, следовательно, имеем невырожденную систему двух линейных уравнений над полем Fp

3с2 +4а = А2,

3с2 + а = В2,

с решениями:

а = 3– 1(A2– B2), c2 = 9– 1(4B2 – A2). (15)

Для кривых с параметрами a 0 и b 0 квадратичные вычеты A2 B2 и, кроме того, 4B2 A2 (нулевые вычеты c2 отбрасываются, так как из с = 0 b = – c3 – ac = 0). Из (11) следует, что A2 0 и В2 0.

Так как параметр d в форме кривой Эдвардса (13) пробегает все квадратичные невычеты поля Fp, их число равно (р – 1)/2. Из этого числа исключим значение d = – 1, которое порождает коэффициенты с = b = 0 (см. формулы (1) и (10)). Остается (р – 3)/2 квадратичных невычетов d.

Пусть Из (15) следует, что при а = 0 А2 = В2 и с2 = 3– 1А2, т.е. существует решение для с и, соответственно, для параметра d, равного согласно (10)

(16)

Нетрудно видеть, что оба решения (16) являются невычетами. Например, умножив числитель и знаменатель на знаменатель, получим в знаменателе квадрат, а в числителе разность квадратов 3 – 4 = – 1, т.е невычет при р 3mod4. Следовательно, из (р – 3)/2 значений невычетов d, исключающих значение b = 0, следует удалить еще 2 значения (16), порождающих коэффициент а = 0. При этом остается (р – 7)/2 допустимых значений невычетов d. Для каждой кривой Эдвардса в форме (13) существует (р – 1)/2 изоморфных кривых (14) с соответствующим числом квадратов е2. Общее число кривых Эдвардса с оговоренными свойствами равноМ = (р – 1)(р – 7)/4. Утверждение () доказано.

Пусть теперь В этом случае а 0, та как при А2 = В2 уравнение с2 = 3–1А2 (см.(15)) не имеет решения. Тогда имеем (р – 3)/2 допустимых значений невычетов d, которые вместе с (р – 1)/2 значениями квадратов е2 для изоморфных кривых дает М = (р – 1) )(р – 3)/4 кривых. Утверждение () доказано.

Пусть теперь р 1mod4, тогда (– 1) – квадратичный вычет, т.е. [7]. Тогда для (11а), принимая А невычетом в системе уравнений

3с2 + 4а = А,

3с2 + а = В2,

можно найти ее единственное решение

а =3– 1(A – B2), c2 = 9– 1(4B2 – A). (17)

Здесь, как видим, нулевые решения для а и с2 невозможны. Итак, мы имеем (р – 1)/2 допустимых значений невычетов d, которые вместе с (р – 1)/2 значениями квадратов е2 для кривых в форме (14) дает М = (р – 1) 2/4 кривых. Утверждение () доказано.

Можно заметить, что приведенное здесь доказательство формул, определяющих точное число кривых Эдвардса с оговоренными свойствами, существенно проще предыдущего доказательства [6].

Рассчитанные по формулам (), (), () мощности семейств кривых, изоморфных кривым Эдвардса при значениях р = 7, 11, 13,…, 47 приведены в таблице 1.

Таблица 1

р 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

М 6 10 36 64 72 88 196 210 324 400 420 529

Пример. Требуется построить кривую Эдвардса на базе изоморфной канонической кривой с двумя точками 4-го порядка над полем F7. Примем А2 = 2, В2 = 1, тогда согласно (15) с2 = 1 – квадрат в поле, а = 5 и b = c(c2 + a) = 1. Получили пару кривых кручения y2 = x3 + 5x 1 с порядками NE = 12 и NEt = 4. Первая кривая с параметром с = 1 в форме Монтгомери (3) имеет вид y2 = u(u2 + 3u +1). Ее точка второго порядка D = (0,0), а координаты точек 4-го порядка первой кривой в соответствии с (7) равны

u12 = 3c2 + a = 1 u1 = – 1, y12 = 2u13 + 3cu12 = 1 y1 = ±1.

Здесь решение u1 = 1, не лежащее на кривой (3), отбрасывается. Переход к кривой Эдвардса (13) осуществляется вычислением d согласно (10)

Кривая x2 + y2 = (1 + 5x2y2)mod7 имеет порядок 12. Соответствующая кривая кручения с параметром d – 1 = 3 имеет порядок 4. Кривая с параметром d = - 1 отбрасывается. Других кривых в форме (13) при р = 7 не существует. Для каждой из этих двух кривых можно получить по 3 изоморфных кривых (14) с коэффициентами е2 = 1, 4, 2. Вообще нал полем F7 существует, как следует из таблицы 1, 6 кривых Эдвардса, изоморфных каноническим кривым с ненулевыми параметрами а и b и двумя точками 4-го порядка. Здесь каждая пара кривых кручения содержит по 3 изоморфных пар.

Формулы (15), (17) конструктивны, так как позволяют рассчитывать параметры а и с кривой (и, соответственно, b) при заданных значениях пар квадратичных вычетов (A2, B2).

На основе условий (11) и формул (15), (17) можно предложить следующий алгоритм построения канонических кривых с двумя точками 4-го порядка:

В поле Fp задаем произвольное значение пары квадратичных вычетов (A2, B2) или пары (A, B2) и согласно (15) или (17) рассчитываем параметры а и с2. Если вычисленное значение с2 – невычет, меняем параметр B2 и повторяем расчеты.

Если с2 – квадратичный вычет, находим 2 кривые с параметрами (а, с) и (а, b). Значение параметра b рассчитываем в соответствии с (2).

Находим координаты точки 4-го порядка (для построения изоморфной кривой Эдвардса).

Вычисляем порядок одной из кривых и, в случае неприемлемого порядка, рассчитываем порядок кривой кручения. Если решение не найдено, переходим к другой паре значений (A2, B2) или (A, B2) (возвращаемся в п.1).

В предложенном виде алгоритм достаточно быстро приводит к кривой с двумя точками 4-го порядка. Далее, как описано в данной работе, строится изоморфная кривая в форме Эдвардса.

ЛитератураEdwards H.M. A normal form for elliptic curves. Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 44, Number 3, July 2007, Pages 393-422.

Bernstein Daniel J., Lange Tanja. Faster addition and doubling on elliptic curves. IST Programme under Contract IST–2002–507932 ECRYPT, 2007, PP. 1-20.

Бессалов А.В. Число изоморфизмов и пар кручения кривых Эдвардса над простым полем. Радиотехника, вып. 167, 2011. С. 203-208.

Бессалов А.В., Гурьянов А.И., Дихтенко А.А. Кривые Эдвардса почти простого порядка над расширениями малых простых полей. Прикладная радиоэлектроника, том 11, №2, 2012. С. 225-227.

Бессалов А.В., Дихтенко А.А. Криптостойкие кривые Эдвардса над простыми полями. Прикладная радиоэлектроника, 2013, Том 12, №2 С. 285-291.

Бессалов А.В., Дихтенко А.А., Цыганкова О.В. Плотность канонических эллиптических кривых со свойством изоморфизма к форме Эдвардса. Известия ЮФУ. Технические науки.", вып. №4, 2014. – С.146-153.

.Бессалов А.В., Телиженко А.Б. Криптосистемы на эллиптических кривых: Учеб. пособие. – К.: ІВЦ «Політехніка», 2004. – 224с.


Похожие работы:

«При заполнении первичной документации необходимо учитывать требования Постановления Госкомстата РФ N 132, (15), при оформлении операций по учету движения и остатков сырья материалов и готовой продукции на предприятиях общественного питания исполь...»

«Алиса ПротасПОГОВОРИ СО МНОЙДействующие лица: АГНИЯ СВЕТЛАНА – мать Агнии МАРТА ПАМЕЛА – мужчина 37 лет, переодетый в женщину ОСИП АКТ ПЕРВЫЙ сомнительный Квартира в спальном районе. Агния лежит на диване в комнате, см...»

«Иван Алексеевич Бунин. В деревне Иван Алексеевич Бунин. Избранные произведения. Верхневолжское книжное издательство, Ярославль, 1974 OCR Бычков М.Н. I Когда я был маленьким, мне всегда казалось, что вместе срождественскими праздниками начинается весна. Декабрь вот это зима, думал я...»

«ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ВЕБИНАРА ПО ТЕМЕ: "ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФИС ГИА И ПРИЕМА С ПОМОЩЬЮ "1С:УНИВЕРСИТЕТ" И "1С:УНИВЕРСИТЕТ ПРОФ"" В: При подключении схема 1 вариант 2 – получится подключить 1С к ФИС? О: При обмене данными в "1С:Университет" и "1С:Университет ПРОФ" поддерж...»

«Русский язык. 10 класс. Демоверсия. Прочитайте текст и выполните задания 1-3. В настоящее время в деловом мире признана важность решения проблемы защиты компьютерных данных. Громкие процессы, связанные с проникновением злоумышленников в корпоративные компьютер...»

«О Б Р А З Л О Ж Е Њ ЕI.УСТАВНИ ОСНОВ Уставни основ за доношење Закона о дуалном образовању садржан је у члану 97. тачка 10. Устава Републике Србије(„Службени гласник РС“, број 98/06 ), према коме Република Србија уређује и обезбеђује, између осталог, систем у области образовања.II. РАЗЛОЗИ ЗА ДОНОШЕЊ...»

«Проект "УТВЕРЖДЕНЫ" приказом Министерства спорта Российской Федерации от ""201_г. № Президент Федерации Всестилевого каратэ России Р.ГаббасовПРАВИЛА вида спорта "всестилевое каратэ" 2013 г.Москва На территории Российской Федерации официальные спортивные соревнования...»

«4.12.15 Воскресение 12:00 рм Учение о Воскресении: Рождение к Престолу часть 2 Так говорит Господь: остановитесь на путях ваших и рассмотрите, и расспросите о путях древних, где путь добрый, и идите по нему, и найдете покой душам вашим (Иер.6:16). Возвращение к древнему пути д...»






















 
2017 www.li.i-docx.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.